CEBar for Firefox で、動画保存関連の機能が動作したタイミングで(Craving Search の URL を開いたとき、もしくは動画保存ボタン、動画フォルダを開くボタンを押した時など)、Craving Explorer の連携機能が動作するため、未起動の場合は起動する仕様となります。
http://cebar.crav-ing.com/ff/ にも記載していますが、
CEBar for Firefox をインストールしている状態でも、Craving Explorer が自動でタスクトレイへ格納される設定にはなりませんので、手動で Craving Explorer オプション→通知→タスクトレイへ格納するのチェックを入れることをお奨めします。